A(b0,b1)=i=1∑n(yi−(b0+b1xi))2
∂b0∂A(b0,b1)=−i=1∑n2(yi−(b0+b1xi))=0
∂b1∂A(b0,b1)=−i=1∑n2xi(yi−(b0+b1xi))=0
i=1∑nyi=nb0+(i=1∑nxi)b1
i=1∑nxiyi=(i=1∑nxi)b0+(i=1∑nxi2)b1
(i=1∑nxi)(i=1∑nyi)=(ni=1∑nxi)b0+(i=1∑nxi)2b1
ni=1∑nxiyi=(ni=1∑nxi)b0+(ni=1∑nxi2)b1
(i=1∑nxi)(i=1∑nyi)−ni=1∑nxiyi=(i=1∑nxi)2−(ni=1∑nxi2)b1
We know that Pearson's r is defined as
r=(n−1)sxsy1i=1∑n(xi−xˉ)(yi−yˉ)
r=(n−1)sxsy1i=1∑nxiyi−xiyˉ−xˉyi+xˉyˉ
r=(n−1)sxsy1i=1∑nxiyi−n1xi(j=1∑nyj)−n1(j=1∑nxj)yi+n21(j=1∑nxj)(i=1∑nyi)
−n(n−1)sxsyr=(j=1∑nxj)(i=1∑nyi)−ni=1∑nxiyi
So we will have
−n(n−1)sxsyr=(i=1∑nxi)2−(ni=1∑nxi2)b1⟹
(n−1)sxsyr=i=1∑nxi2−n1(i=1∑nxi)2b1
We know that sx2=(n−1)1∑i=1n(xi−xˉ)2⟹(n−1)sx2=∑i=1n(xi−xˉ)2=∑i=1nxi2−2xˉxi+xˉ2=∑i=1nxi2−n1(∑i=1nxi)2
So we will have
(n−1)sxsyr=(n−1)sx2b1
b1=sxsyr
i=1∑nyi=nb0+(i=1∑nxi)b1
b0=yˉ−xˉb1